مطالعه تقارنها و ناهنجاريها در نظريه ميدان ناجابجايی

(3-1) شرح موضوع طرح و اهداف کلی از انجام آن

مطالعه نظريه ميدان ناجابجايی که از چندی پيش مورد توجه تعداد بسيار زيادی از محققان در همه زمينه های فيزيک ذرات قرار گرفته است، ريشه در ايده ای نسبتا قديمی از دوران اوج مکانيک کوانتيک دارد. در سال 1947 سنايدر ايده کوانتيزه کردن فضا - زمان را برای اولين بار مطرح کرده و روابط ناجابجائی معينی را بين اين مختصات مينويسد. در مقايسه با رابطه ناجابجائی متعارف بين عملگر مکان و اندازه حرکت که در کوانتوم مکانيک به معنی عدم امکان اندازه گيری همزمان دقيق مکان و تکانه يک ذره است، وجود چنين روابط ناجابجائی بين عملگرهای مکان به معنی عدم امکان اندازه گيری مختصات ذره در جهات مختلف با دقت مساوی و همزمان است. ايده مطرح شده توسط سنايدر تا سالهای زيادی پيگيری نشد تا در نهايت در نظريه ريسمان شواهدی از امکان وجود مختصات ناجابجائی برای دو سر ريسمانهای باز منتهی به غشائی که بر روی آن ميدان پس زمينه معينی وجود دارد به اثبات رسيد. به اين ترتيب در حد انرژيهای پايين نظريه ميدان کوانتومی مؤثر  که بر روی غشاء  همراه با ميدان پس زمينه غير صفر تعريف ميشود، نظريه ميدان کوانتومی ناجابجايی را تعريف ميکند. از خصوصيات مهم اين نظريه خاصيت غير موضعی بودن آن است. بصورت رياضی اين غير موضعيت خود را در وجود ضربی غير بديهی بين ميدانهای توصيف کننده ذرات پديدار ميسازد که تابعی نمائی از مشتق اين توابع است. همراه با بسط نما در مراتب مختلف پارامتری که مقياسی برای ناجابجايی فضا-زمان است، مشتقات مراتب بالاتر ظاهر شده و نظريه را بشدت غير موضعی مينمايند.

از جمله خواص مهم نظريه ميدان کوانتومی متعارف که در نتيجه فرض ناجابجايی بين مختصات فضايی تغيير ميکند خواص تقارن تئوری است. هدف اصلی در ارائه طرح فوق بررسی اين تغييرات در نظريه ميدان کوانتومی ناجابجايی و مقايسه نتايج حاصله با نظير اين نتايج در حالت جابجايی ميباشد.

(3-2) خلاصه ای از نتايج حاصله از ابتدای شروع طرح و اهداف جزئی از انجام طرح در آينده

قبل از بيان اهداف جزئی طرح به دو نکته از نظريه متعارف کوانتوم الکتروديناميک اشاره می کنيم:

(1) در نظريه ميدان کوانتومی جابجايی رابطه بسيار عميق بين تقارنها و قوانين بقا از طريق قضيه معروف نوتر بيان ميگردد. اين تقارنها در سطح کلاسيک تحت تبديلات سراسری و پيوسته ای تعريف ميشوند که معادلات حرکت ذره را ناوردا نگاه ميدارند و منجر به تعريف جريانهای پايستار و در نتيجه بارهای ثابت مربوط به گروه تقارن مورد بحث ميشوند. در سطح کوانتومی تصحيحات کوانتومی باعث شکسته شدن بعضی از اين تقارنها ميشوند و در نتيجه جريان نوتر مربوطه در معادله پايستگی صدق نميکند. در اغلب موارد اين نوع ناهنجاريها منجر به نتايج مهم پديده شناختی ميشوند و اثرات آنها در آزمايش به اثبات ميرسد. از جمله اين نوع تقارنهای سراسری تقارن محوری است که در سطح کلاسيک با فرض بدون جرم بودن کوارکها منجر به تعريف جريان پايسته محوری ميشود. وليکن مقدار انتظاری ديورژانس اين جريان با در نظر گرفتن تصحيحات کوانتومی صفر نميشود. وجود اين ناهنجاری محوری است که بصورت تئوری فروپاشی پيون خنثی به دو فوتون را توصيف ميکند. لازم به ذکر است که اين فروپاشی از لحاظ کلاسيک ممنوع بوده و فقط با استفاده از ناهنجاری محوری پس از درنظر گرفتن افت و خيزهای کوانتومی قابل توصيف است. بصورت رياضی منشأ بروز ناهنجاری محوری در محاسبات اختلالی وجود انتگرالی است که بصورت خطی واگرا ميشود. برای منظم سازی اين نوع واگرائی که از نوع مافوق بنفش است ميتوان از روشهای مختلف منظم سازی استفاده نمود، از جمله روش منظم سازی ابعادی يا روش جدا سازی نقطه ای. نتيجه اينگونه محاسبات درهرصورت مقداری است متناهی بر حسب ميدانهای پيش زمينه. درضمن اين نتيجه از لحاظ بسط اختلال کاملا دقيق است، يعنی در تمامی مراتب مختلف اختلال صادق است. 

(2) در نظريه ميدان کوانتومی متعارف رابطه نزديکی بين ناهنجاری و جبر جريانهای تئوری وجود دارد. اين جبر علاوه بر جمله کانونيک متناسب با ثابتهای ساختار گروه تقارن، شامل جمله ای می شود که همانند ناهنجاری منشأ در تصحيحات کوانتومی دارد. به اينگونه جملات اصطلاحا جملات شوينگر ميگويند.

رابطه بسيار مجرد بين ناهنجاری و جمله شوينگر ريشه ای عميق در خواص ناهنجاريها دارد که در مورد ناهنجاريهای متعارف فضای جابجائی بخوبی توسط روشهائی از هندسه ديفرانسيل، اصطلاحا معادلات پله ای

 (descent equations)، بررسی شده است. با وجود اين قبل از رسيدن به اين معادلات مجرد که بصورتی کاملا غير اختلالی بدست ميايد، يافتن اين رابطه بصورت اختلالی اطلاعات بسيار مفيدی راجع به خواص تقارن تئوری ميدهد، مضافا بر اينکه روش اثبات اين رابطه بسيار شبيه روش محاسبه ناهنجاری است.

 

در مورد طرح پيشنهادی فوق در نظريه ميدان کوانتومی ناجابجائی تاکنون مطالعات مفيدی بر روی جنبه های مختلف شکست تقارنها در نتيجه ناهنجاريهای کوانتومی انجام شده است. از جمله نتايج حاصله اينکه اين تئوری برخلاف حالت متعارف به علت ضرب ناجابجائی بين توابع به ازای هر يک از تقارنهای سراسری U(1) و U(1) محوری دارای دو جريان نوتر است. در ضمن نمودارهای فاينمن در اين نظريه به دو دسته نمودارهای صفحه ای و غير صفحه ای تقسيم ميشوند. در [1] با استفاده از روشهای مختلف منظم سازی ناهنجاری جرِيان هموردای محوری محاسبه شده است. در محاسبه اينگونه ناهنجاری محوری از طريق محاسبات اختلالی فقط نمودارهای صفحه ای سهم غير صفر می دهند. در [2] ناهنجاری مربوط به جريان ناوردای تئوری با استفاده از روشهای اختلالی محاسبه شده است. در اين مورد فقط نمودارهای غير صفحه ای سهمی غير صفر ميدهند. در اين مورد پديده مهم ترکيب مادون قرمز- مافوق بنفش رخ می دهد. در قسمتی از مقاله [3] همين نتايج با استفاده از روش معروف فوجيکاوا محاسبه شده است و وقوع پديده فوق به اثبات رسيده است. البته لازم به ذکر است که پديده ترکيب مادون قرمز- مافوق بنفش لااقل در مورد ناهنجاريها تنها زمانی از لحاظ فيزيکی قابل فهم می باشد که به نظريه الکتروديناميک ناجابجائی به عنوان يک نظريه مؤثر نگريسته شود. تنها در اين صورت است که وجود يک مقياس محدود برای نظريه قابل توجيه است و تمامی مقياسهای نظريه از جمله پارامتر ناجابجائی با بعد مربع طول با اين مقياس قابل مقايسه می شود.

دقيقا همين نکته کليدی برای سؤال طبيعی بعدی است. در اين مورد فرض ميشود که الکتروديناميک ناجابجائی تئوری بنيادينی برای توصيف طبيعت است. در اين صورت، مقياس ماوراء بنفش در آن لزوما بينهايت بزرگ و در نتيجه بينهايتهايی از جنس مادون قرمز در آن پديدار می گردند. حذف اينگونه بينهايتهای مادون قرمز جزء هدفهای جزئی اين طرح ميباشد.  با حذف اينگونه بينهايتها ميتوان جبر جريانهای تئوری را نيز محاسبه نمود و اطلاعات مهمی راجع به تقارنهای نظريه بدست آورد.

در ادامه به روشهای پيشنهادی برای پاسخگوئی به سؤال فوق می پردازيم.

(3-3) روشهای پيشنهادی برای اجرای طرح و جدول زمانبندی

 

برای حذف بينهايتهايی از نوع مادون قرمز در نمودارهای فاينمن ميتوان از روش محدود کردن مؤلفه های فضا- زمان در يک حجم معين استفاده نمود. در مقاله [4] از اين روش برای منظم سازی مادون قرمز استفاده شده است. در عين حال برای منظم سازی مافوق بنفش از روش جداسازی نقطه ای استفاده شده است. نتايج بدست آمده برای ناهنجاری محوری مربوط به جريان ناوردای تئوری اميدوارکننده است. از روشهای بکار رفته برای تعيين اين ناهنجاری ميتوان برای محاسبه جبر کامل جريانها اعم از هموردا-هموردا، ناوردا-هموردا و ناوردا-ناوردا  بهره گرفت. يکی از مواردی که در آن از جبر جريانها استفاده ميشود علاوه بر مطالعه تقارنهای تئوری، مطالعه قضيه گلدستون برای توليد پيونهای متناظر با دو نوع جريان ناجابجائی است.

 

با توجه به توضيحات فوق مراحل انجام طرح عبارتند از:

(الف) يافتن منابع لازم جهت استفاده در حل مسائل مربوط به اين طرح

(ب) انجام محاسبات مربوطه

(ج) نتيجه گيری از نتايج و تنظيم مقالات

زمان لازم برای انجام طرح حدودا يکسال پيش بينی ميشود.

 

 (3-4) دستاوردهای طرح

 

دستاوردهای طرح جنبه بنيادی دارد و صرفا به منظور آگاهی از مکانيزم دقيق شکست تقارنهای تئوری توسط افت و خيزهای کوانتومی انجام می گيرد. البته جنبه های پديده شناختی طرح در توضيح چگونگی فروپاشی پيونهای خنثی نيز مورد توجه است. نکته بسيار جالب که در اينجا به چشم می خورد بوجود آمدن دو نوع جريان محوری است که قاعدتا بنا به قضيه گلدستون جابجائی منجر به توليد دو نوع ذره گلدستون (همان پيون) ميشود. بررسی چگونگی فروپاشی اين دو نوع پيون از جمله اهداف بلند مدت طرح  فوق ميباشد.

لازم به ذکر است که پروژه ديگری به موازات اين طرح با هدف بررسی تقارنهای سراسری تئوريهای ناجابجائی و چگونگی شکسته شدن آنها در حال انجام است، با اين تفاوت که در اين مورد تقارنهای فضا-زمان مد نظر ميباشند. جريان نوتر مربوط به اين تقارن، رد تانسور انرژی-تکانه است که در حالت کلاسيک مساوی صفر بوده ولی با در نظر گرفتن تصحيحات کوانتومی ناهنجاری بنام ناهنجاری رد توليد ميکند. اين تانسور به عنوان جريان نوتر مربوط به تفارن فضا-زمان تئوری،  همانند مورد جريان محوری تئوری ناجابجائی يکتا نميباشد. در اين پروژه يکی از اين نوع تانسورها انتخاب شده و با استفاده از روش ميدان زمينه و همچنين فوجيکاوا سهم نمودارهای صفحه ای و غير صفحه ای در حد تک حلقه ای به مقدار انتظاری خلاء رد اين تانسور بدست ميايد و سپس با استفاده از رابطه ای که بين رد اين تانسور و تابع  تئوری وجود دارد سهم اين نمودارها به اين تابع محاسبه ميشود.     

                           

(3-5) مراجع

 

[1] Ardalan, F. and Sadooghi, N., "Axial Anomaly in Noncommutative QED on R**4", Int. J. Mod.

Phys. A 16, 2001, pp 3151.

 

 [2] Ardalan, F. and Sadooghi, N., "Anomaly and Nonplanar Diagrams in Noncom-mutative Gauge Theories", Int. J. Mod. Phys. A 17, 2002, pp 123.

 

 [3] Ardalan, F. and Sadooghi, N., "Planar and Nonplanar Konishi Anomalies and Ef-fective Superpotential for Noncommutative N=1 Supersymmetric U(1)", Int. J. Mod. Phys. A20, 2005, pp 2859.

 

 [4] Ardalan, F., Arfaei, H. and Sadooghi, N., "On the Anomalies and Schwinger Terms in Noncommutative Gauge Theories", submitted to Int. J. Mod. Phys. A., 2005.